Den medeltida matematikern Leonardo Fibonaccis problem om kaniner

2024 Författare: Malcolm Clapton | [email protected]. Senast ändrad: 2023-12-17 04:11

Beräkna vilken avkomma ett par djur kommer att ge i början av nästa år.

Leonardo Fibonacci var en enastående medeltida matematiker. Man tror att det var han som introducerade arabiska siffror i bruk. I The Book of the Abacus, ett verk som förklarar och främjar decimalaritmetik, ger Fibonacci sitt berömda problem om kaniner. Försök att lösa det.

I början av januari placerades ett par nyfödda kaniner (hane och hona) i en fålla, inhägnad på alla sidor. Hur många par kaniner kommer de att producera i början av nästa år? Det är nödvändigt att ta hänsyn till följande villkor:

• Kaniner når sexuell mognad två månader efter födseln, det vill säga i början av den tredje levnadsmånaden.
• I början av varje månad föder varje könsmoget par endast ett par.
• Djur föds alltid i par "en hona + en hane".
• Kaniner är odödliga, rovdjur kan inte äta dem.

Låt oss se hur antalet kaniner växer under de första sex månaderna:

Månad 1. Ett par unga kaniner.

Månad 2. Det finns fortfarande ett originalpar. Kaniner har ännu inte nått fertil ålder.

Månad 3. Två par: det ursprungliga, efter att ha uppnått fertil ålder + ett par unga kaniner som hon födde.

Månad 4. Tre par: ett originalpar + ett par kaniner som hon födde i början av månaden + ett par kaniner som föddes i tredje månaden, men som ännu inte har nått puberteten.

Månad 5. Fem par: ett originalpar + ett par födda i den tredje månaden och uppnått fertil ålder + två nya par som de fött + ett par som föddes i den fjärde månaden, men som ännu inte nått mognad.

Månad 6. Åtta par: fem par från förra månaden + tre nyfödda par. Etc.

För att göra det tydligare, låt oss skriva mottagna data i tabellen:

Om du noggrant undersöker tabellen kan du identifiera följande mönster. Varje gång antalet kaniner närvarande under den n:e månaden är lika med antalet kaniner under (n - 1):e föregående månaden, summerat med antalet nyfödda kaniner. Deras antal är i sin tur lika med det totala antalet djur per (n - 2) månaden (vilket var för två månader sedan). Härifrån kan du härleda formeln:

F = F_{n - 1}+ F_{n - 2}, där F - det totala antalet kaninpar under den n:e månaden, F_{n - 1} är det totala antalet kaninpar under föregående månad, och F_{n - 2} - det totala antalet kaninpar för två månader sedan.

Låt oss räkna antalet djur under följande månader med hjälp av det:

Månad 7. 8 + 5 = 13.

Månad 8. 13 + 8 = 21.

Månad 9. 21 + 13 = 34.

Månad 10. 34 +21 = 55.

Månad 11. 55 + 34 = 89.

Månad 12. 89 + 55 = 144.

Månad 13 (början av nästa år). 144 + 89 = 233.

I början av den 13:e månaden, det vill säga i slutet av året, kommer vi att ha 233 par kaniner. Av dessa kommer 144 att vara vuxna och 89 vara unga. Den resulterande sekvensen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 kallas Fibonacci-tal. I den är varje nytt slutnummer lika med summan av de två föregående.

Visa svar Dölj svar