Nakenstatistik är den mest intressanta boken om den tråkigaste vetenskapen

2024 Författare: Malcolm Clapton | [email protected]. Senast ändrad: 2023-12-17 04:11

Vem sa att statistik är en tråkig och värdelös vetenskap? Charles Wheelan hävdar övertygande att så är långt ifrån fallet. Idag publicerar vi ett utdrag ur hans bok om hur man vinner en bil, inte en get, med hjälp av statistik, och förstår att intuition kan vilseleda dig.

Monty Hall-gåtan

Monty Hall Mystery är ett berömt problem inom sannolikhetsteorin som förbryllade deltagare i ett spelprogram som heter Let's Make a Deal, fortfarande populärt i flera länder, som hade premiär i USA 1963. (Jag minns varje gång jag såg det här programmet som barn, när jag inte gick i skolan på grund av sjukdom.) I inledningen till boken påpekade jag redan att det här spelprogrammet kan vara intressant för statistiker. I slutet av varje nummer stod deltagaren som nådde finalen med Monty Hall framför tre stora dörrar: dörr nr 1, dörr nr 2 och dörr nr 3. Monty Hall förklarade för finalisten att bakom en av dessa dörrar var ett mycket värdefullt pris - till exempel en ny bil och en get bakom de andra två. Finalisten fick välja en av dörrarna och få vad som låg bakom. (Jag vet inte om det var minst en person bland deltagarna i showen som ville skaffa en get, men för enkelhetens skull kommer vi att anta att de allra flesta deltagarna drömde om en ny bil.)

Den initiala sannolikheten att vinna är ganska lätt att avgöra. Det finns tre dörrar, två gömmer en get och den tredje gömmer en bil. När en deltagare i showen står framför dessa dörrar med Monty Hall har han en av tre chanser att välja dörren bakom vilken bilen är placerad. Men, som nämnts ovan, finns det en hake i Let's Make a Deal som förevigade detta TV-program och dess presentatör i litteraturen om sannolikhetsteori. Efter att finalisten av showen pekar på en av de tre dörrarna, öppnar Monty Hall en av de två återstående dörrarna, bakom vilken det alltid finns en get. Sedan frågar Monty Hall finalisten om han vill ändra sig, det vill säga att överge den tidigare valda stängda dörren till förmån för en annan stängd dörr.

Låt oss säga, för exempel, att deltagaren pekade på dörr nr 1. Sedan öppnade Monty Hall dörr nr 3, bakom vilken geten gömde sig. Två dörrar, Dörr #1 och Dörr #2, förblir stängda. Om det värdefulla priset låg bakom dörr nr 1 skulle finalisten ha vunnit det, och om det låg bakom dörr nr 2 skulle han ha förlorat. Det är vid denna tidpunkt som Monty Hall frågar spelaren om han vill ändra sitt ursprungliga val (i det här fallet, överge dörr 1 till förmån för dörr nr 2). Du kommer naturligtvis ihåg att båda dörrarna fortfarande är stängda. Den enda nya information som deltagaren fick var att bocken hamnade bakom en av två dörrar som han inte valde.

Ska finalisten överge det ursprungliga valet till förmån för dörr nr 2?

Jag svarar: ja, det borde det. Om han håller fast vid det ursprungliga valet kommer sannolikheten att vinna ett värdefullt pris att vara ⅓; om han ändrar sig och pekar på dörr nr 2 kommer sannolikheten att vinna ett värdefullt pris att vara ⅔. Om du inte tror mig, läs vidare.

Jag erkänner att detta svar är långt ifrån självklart vid första anblicken. Det verkar som om vilken av de återstående två dörrarna finalisten än väljer, är sannolikheten för att få ett värdefullt pris i båda fallen ⅓. Det finns tre stängda dörrar. Till en början är sannolikheten att ett värdefullt pris är gömt bakom någon av dem ⅓. Gör finalistens beslut att ändra sitt val till förmån för ytterligare en stängd dörr någon skillnad?

Naturligtvis, eftersom haken är att Monty Hall vet vad som finns bakom varje dörr. Om finalisten väljer dörr nr 1 och det verkligen finns en bil bakom den, kan Monty Hall öppna antingen dörr nr 2 eller dörr nr 3 för att avslöja geten som lurar bakom den.

Om finalisten väljer dörr 1 och bilen är bakom dörr 2, öppnar Monty Hall dörr 3.

Om finalisten pekar på dörr 1 och bilen är bakom dörr 3 kommer Monty Hall att öppna dörr 2.

Genom att ändra sig efter att presentatören öppnat en av dörrarna får finalisten fördelen av att välja två dörrar istället för en. Jag ska försöka övertyga dig om riktigheten i denna analys på tre olika sätt.

Den första är empirisk. 2008 skrev New York Times krönikör John Tyerney om Monty Hall-fenomenet. Efter det utvecklade publikationens personal ett interaktivt program som låter dig spela det här spelet och självständigt bestämma om du vill ändra ditt ursprungliga val eller inte. (Programmet ger till och med små getter och små bilar som dyker upp bakom dörrarna.) Programmet registrerar dina vinster i händelse av att du ändrar ditt ursprungliga val, och om du inte är övertygad. Jag betalade en av mina döttrar för att spela det här spelet 100 gånger, och ändrade hennes ursprungliga val varje gång. Jag betalade också hennes bror för att spela spelet 100 gånger också, och behöll det ursprungliga beslutet varje gång. Dottern vann 72 gånger; hennes bror 33 gånger. Varje insats belönades med två dollar.

Bevis från avsnitt av spelet Let's Make a Deal visar samma mönster. Enligt Leonard Mlodinov, författare till The Drunkard's Walk, hade de finalister som ändrade sitt ursprungliga val ungefär dubbelt så stor risk att vinna som de som inte var övertygade.

Min andra förklaring till detta fenomen är baserad på intuition. Låt oss säga att spelets regler har ändrats något. Till exempel börjar finalisten med att välja en av tre dörrar: Dörr #1, Dörr #2 och Dörr #3, som ursprungligen planerat. Men innan du öppnar någon av dörrarna, bakom vilken geten gömmer sig, frågar Monty Hall: "Godkänner du att ge upp ditt val i utbyte mot att öppna de två återstående dörrarna?" Så, om du valde Dörr #1, kan du ändra dig till förmån för Dörr #2 och Dörr #3. Om du pekade på Dörr #3 först, kan du välja Dörr #1 och Dörr #2. Och så vidare.

Detta skulle inte vara ett särskilt svårt beslut för dig: det är ganska uppenbart att du bör ge upp det initiala valet till förmån för de två återstående dörrarna, eftersom detta ökar chanserna att vinna från ⅓ till ⅔. Det mest intressanta är att det i grund och botten är detta som Monty Hall erbjuder dig i ett riktigt spel, efter att ha öppnat dörren bakom vilken geten gömmer sig. Det grundläggande faktumet är att om du fick möjligheten att välja två dörrar så skulle en get ändå döljas bakom en av dem. När Monty Hall öppnar dörren bakom som bocken är, och först då frågar dig om du går med på att ändra ditt ursprungliga val, ökar det avsevärt dina chanser att vinna ett värdefullt pris! I grund och botten säger Monty Hall till dig, "chanserna för att ett värdefullt pris gömmer sig bakom en av de två dörrarna som du inte valde första gången är ⅔, vilket fortfarande är mer än ⅓!"

Du kan föreställa dig det så här. Låt oss säga att du pekade på Dörr # 1. Efter det ger Monty Hall dig möjligheten att överge det ursprungliga beslutet till förmån för Dörr # 2 och Dörr # 3. Du samtycker och du har två dörrar till ditt förfogande, vilket innebär att du har alla skäl förväntar sig att vinna ett värdefullt pris med en sannolikhet på ⅔, inte ⅓. Vad skulle ha hänt om Monty Hall i detta ögonblick hade öppnat dörr 3 - en av "dina" dörrar - och det fanns en get bakom den? Skulle detta faktum skaka ditt förtroende för ditt beslut? Självklart inte. Om bilen gömde sig bakom dörr 3 skulle Monty Hall öppna dörr 2! Han skulle inte visa dig någonting.

När spelet spelas enligt ett avstängningsscenario, ger Monty Hall dig verkligen ett val mellan den dörr som du angav i början, och de två återstående dörrarna, varav en kan vara en bil. När Monty Hall öppnar dörren bakom vilken bocken gömmer sig, gör han dig helt enkelt en tjänst genom att visa dig vilken av de andra två dörrarna som inte är bilen. Du har samma chanser att vinna i båda följande scenarier.

Välj Dörr #1 och acceptera sedan att "växla" till Dörr #2 och Dörr #3 även innan någon dörr öppnas.
Välj Dörr 1 och acceptera sedan att "växla" till Dörr 2 efter att Monty Hall visar dig geten bakom Dörr 3 (eller väljer Dörr 3 efter att Monty Hall visar dig geten bakom Dörr 2).

I båda fallen ger att överge det ursprungliga beslutet dig fördelen med två dörrar framför en, och du kan därmed dubbla dina vinstchanser från ⅓ till ⅔.

Mitt tredje alternativ är en mer radikal version av samma grundläggande intuition. Låt oss säga att Monty Hall ber dig att välja en av 100 dörrar (istället för en av tre). När du har gjort detta, säg genom att peka på dörr #47, öppnar han de 98 återstående dörrarna, vilket kommer att avslöja getterna. Nu är bara två dörrar stängda: din dörr nr. 47 och en annan, till exempel, dörr nr. 61. Ska du ge upp ditt första val?

Såklart ja! Det är 99 procents chans att bilen står bakom någon av dörrarna som du först inte valde. Monty Hall gjorde dig artighet genom att öppna 98 av dessa dörrar, det fanns ingen bil bakom dem. Det finns alltså bara en chans på 1 på 100 att ditt första val (dörr nr 47) kommer att vara korrekt. Samtidigt finns det en chans på 99 av 100 att ditt första val var fel. Om så är fallet, så är bilen placerad bakom den återstående dörren, det vill säga dörr nr 61. Om du vill spela med sannolikheten att vinna 99 gånger av 100, så ska du "växla" till dörr nr 61.

Kort sagt, om du någonsin måste spela Let's Make a Deal, kommer du definitivt att behöva backa på ditt ursprungliga beslut när Monty Hall (eller vem som nu kommer att ersätta honom) ger dig ett val. En mer universell slutsats från detta exempel är att dina intuitiva gissningar om sannolikheten för vissa händelser ibland kan vilseleda dig.